Gambar Kegiatan Pembelajaran

Belajar Barisan Aritmetika

Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku yang berurutan.

Perhatikan uraian berikut:

• Diketahui barisan bilangan:

          2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan berarti barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

• Diketahui barisan bilangan:

         8, 4, 0, -4, -8, -12, -16, ...

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu -4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap.

Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan Barisan Aritmetika Naik. Sebaliknya jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut Barisan Aritmetika Turun.

Contoh soal barisan aritmetika:

Tentukan jenis barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya!

a. 30, 32, 34, 36, 38, ...

b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ...

c. -10, -14, -18, -22, -26, ...

Jawab:

a. Merupakan barisan aritmetika naik karena bedanya 2

b. Merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya -3

c. Merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya -4

Rumus Barisan Aritmetika

Setelah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja?

Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain?

Untuk menjawabnya pelajarilah  uraian berikut!

• U1, U2, U3, U4, U5, ..., Un - 1, Un

Dari barisan tersebut diperoleh :

• U1 = a (suku pertama dilambangkan  dengan a)
• U2 = U1 + b = a + b
• U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
• U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
• U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
• ...
• Un = Un - 1 + b = (a + (n -2) b) + b = a + (n - 1) b

Jadi rumus suku ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut:

                        Un = a + (n - 1) b

Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika , perhatikan uraian berikut:

• U2 = U1 + b maka b = U2 - U1
• U3 = U2 + b maka b = U3 - U2
• U4 = U3 + b maka b = U4 - U3 
• U5 = U4 + b maka b = U5 - U4 
• ...
• Un = Un - 1 + b maka b = Un - Un - 1

Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut:

                        b = Un - (Un - 1)

Agar lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut:

Contoh soal barisan aritmetika

1. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut:

    10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

    Tentukanlah:

    a. Jenis barisan aritmetikanya

    b. Suku ke-12 barisan tersebut

    

    Jawab:

    a. Untuk menentukan jenis jenis barisan aritmetika, tentukan beda pada barisan tersebut

        b = U2 -U1 

           = 13 - 10

           = 3

        Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

    b. Untuk mencari suku ke-12 (U12 ), lakukan cara sebagai berikut:

        Un = a + (n - 1) b  maka

        U12 = 10 + (12 - 1) 3

               = 10 + (11) 3

               = 10 + 33

               = 43

        Jadi suku ke-12 barisan tersebut adalah 43

2. Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ke tujuh 24 

    a. Tentukan beda dari barisan tersebut

    b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut

    Jawab:

    Diketahui: 

    Suku pertama a = 6

    Suku ke-7 = U7 = 36

    a. Untuk menentukan beda 

        Un = a + (n - 1) b  maka

        U7  = 6 + (7 - 1) b 

        36 = 6 + 6b

        36 - 6 = 6b

        30  = 6b

        b = 5 

        Jadi beda barisan tersebut adalah 5

    b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut:

        6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

3. Diketahui uatu barisan aritmetika -8, -3, 2, 7, 12, 17, ...

    Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut!

    

    Jawab:

    Diketahui 

    a = -8

    b = 5 

    Rumus suku ke-n adalah:

    Un = a + (n - 1) b

    Un = -8 + (n - 1) 5

    Un = -8 + 5n - 5   

    Un = 5n - 13

4. Dalam suatu gedung pertunjukan, disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi dan seterusnya selalu bertambah 2 kursi. Berapa banyak kursi pada baris ke-20?

Jawab:

Diketahui:

U1 = 12

U2 = 14

U3 = 16

Ditanyakan

U20 ?

Penyelesaian:

Banyak kursi pada setiap baris membentuk barisan aritmetika denan a = 12 dan b = 2

maka:

Un = a + (n - 1) b

U20 = 12 + (20 - 1) 2

       = 12 + (19) 2

       = 12 + 38

       = 50